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By Florian Modler

In einer Algebra-Vorlesung beschäftigt guy sich nicht mehr mit Linearer Algebra, sondern es wird abstrakter. Um die Studierenden beim Verständnis für diesen abstrakten Stoff zu unterstützen, erscheint nun mit "Tutorium Algebra" ein weiterer Band der Tutoriums-Reihe der Mathematikstudenten Modler und Kreh. In dem Buch erläutern die beiden Autoren den Stoff der Algebra. Dabei liegt das Hauptaugenmerk auf der Körpertheorie, genauer der Galoistheorie. Die Inhalte werden an verständlichen und ausführlichen vorgerechneten Beispielen erklärt. Das Konzept bleibt wieder das bewährte: Jedes Kapitel ist zwei geteilt in einen mathematischen Teil, in dem die Definitionen, Sätze und Beweise stehen, und einen erklärenden Teil, in dem die schwierigen Definitionen und Sätze auf gewohnt lockere und lustige artwork und Weise mit mehr als 120 Beispielen und etwa 30 Abbildungen mit Leben gefüllt werden. So erhält der Leser einerseits einen Blick für mathematisch exakte Formulierungen und andererseits Hilfen und Anschauungen, die wichtig sind, um den Stoff zu verstehen.

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To this finish, the tale now starts with polynomials over the complicated numbers, and the crucial quest is to appreciate while such polynomials have ideas that may be expressed by way of radicals. Reorganization of the cloth locations the concrete earlier than the summary, therefore motivating the final conception, however the substance of the publication is still an identical.

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Example text

Gcd (a, b) = gcd (a, b + qa). Beweis: Da jedes Element von R ein Teiler von 0 ist, sind beide Eigenschaften eines größten gemeinsamen Teilers für a erfüllt. Es reicht zu zeigen, dass die gemeinsamen Teiler von a und b dieselben sind wie von a und b + qa. Hierfür reicht es zu zeigen, dass jeder gemeinsame Teiler von a und b auch einer von a und b + qa ist. Wenden wir diese Aussage dann nämlich statt auf a, b, q auf a, b + qa, −q an, so erhalten wir daraus auch die umgekehrte Richtung. Sei c ein gemeinsamer Teiler von a und b, das heißt a = ca und b = cb für a , b ∈ R.

Beispiele zu den konkreten Ringen werden wir teilweise direkt in den Erklärungen zu den Definitionen bringen und teilweise ganz am Ende der Erklärungen, um die Zusammenhänge besser deutlich machen zu können. Dabei sei R immer ein kommutativer Ring mit 1. Um uninteressante Fälle gleich auszuschließen, sei außerdem R nicht der Nullring. 1 (Einheiten und Nullteiler) Sei R ein Ring und a ∈ R. Gibt es ein b ∈ R mit ab = 1, so nennen wir a eine Einheit in R. Wir schreiben R∗ := {a ∈ R : a ist Einheit } für die Einheitengruppe von R.

Ak ) gibt. Für i = 1, . . , k sei Ni := N = n1 · · · ni−1 ni+1 · · · nk . ni Wegen gcd (ni , nj ) = 1 für i = j tritt jede Primzahl in der Primfaktorzerlegung von höchstens einer der Zahlen n1 , . . , nk auf. Also ist gcd (ni , Ni ) = 1 für alle i = 1, . . , k. 8 Ni also eine Einheit in Z /ni Z und wir können mit dem Euklidischen Algorithmus ihr multiplikatives Inverses Mi , also ein Mi ∈ Z mit Mi Ni = 1 ∈ Z /ni Z berechnen. Sei nun k ai Mi Ni ∈ Z. a := i=1 Für i = 1, . . , k gilt dann in Z /ni Z k a= aj Mj Nj = ai Mi Ni = ai , j=1 denn Nj enthält für j = i den Faktor ni , also ist dann Nj = 0 ∈ Z /ni Z .

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